强化学习(三):动态规划


在上一篇文章 强化学习(二):马尔可夫决策过程 中, 我们介绍用来对强化学习问题进行建模的马尔可夫决策过程(Markov Decision Processes, MDPs).

由于MDPs的贝尔曼最优方程没有封闭解, 因此一般采用迭代的方法对其进行求解.

本文将介绍使用动态规划(Dynamic Programming)算法来求解MDPs.

动态规划

  • 动态(Dynamic): 问题中的时序部分

  • 规划(Planning): 对问题进行优化

动态规划将问题分解为子问题, 从子问题的解中得到原始问题的解.


动态规划的性质

  • 最优子结构(Optimal substructure)

    • 应用最优性原则(Principle of optimality)
    • 最优解可以从子问题的最优解中得到
  • 重叠子问题(Overlapping subproblems)

    • 相同的子问题出现多次
    • 问题的解可以被缓存和复用

马尔可夫决策过程满足上面两种性质:

贝尔曼方程 给出了问题的递归分解表示, 值函数 存储和复用了问题的解.


用动态规划进行Planning

动态规划假设我们知道MDP的所有知识, 包括状态、行为、转移矩阵、奖励甚至策略等.

对于预测(Prediction)问题:

  • 输入:

    • MDP $<\mathcal{S}, \mathcal{A}, \mathcal{P}, \mathcal{R}, \gamma>$ 和 策略 $\pi$
    • MRP $<\mathcal{S}, \mathcal{P}^{\pi}, \mathcal{R}^{\pi}, \gamma>$
  • 输出: 值函数 $v_{\pi}$

对于控制(Control)问题:

  • 输入:

    • MDP $<\mathcal{S}, \mathcal{A}, \mathcal{P}, \mathcal{R}, \gamma>$
  • 输出:

    • 最优值函数 $v_{*}$
    • 最优策略 $\pi_{*}$

策略评估

问题: 评估一个给定的策略 $\pi$
求解: 对贝尔曼期望方程进行迭代, $v_1 \to v_2 \to \dots \to v_{\pi}$

通常使用同步备份(synchronous backups)方法:

对于第 $k+1$ 次迭代, 所有状态 $s$ 在第 $k+1$ 时刻的价值 $v_{k+1}(s)$ 用 $v_k(s’)$ 进行更新, 其中 $s’$ 是 $s$ 的后继状态.

迭代策略评估


迭代策略评估算法:

迭代策略评估算法用来估计 $V \approx v_{\pi}$.

这里使用in-place版本, 即只保留一份 $v$ 数组, 没有新旧之分.

通常来说, 该方法也能收敛到 $v_{\pi}$, 而且收敛速度可能更快.

终止条件: $\max \limits_ { s \in \mathcal{S} } \left| v _ { k + 1 } ( s ) - v _ { k } ( s ) \right|$ 小于给定的误差 $\Delta$

迭代策略评估伪代码


例子: Small Gridworld [代码]

Small Gridworld

Small Gridworld Solution


策略改进

让我们考虑一个确定性策略(即对于一个状态来说, 其采取的动作是确定的, 而不是考虑每个动作的概率) $a = \pi(s)$.

我们可以通过贪心选择来改进策略 $\pi$:

即状态 $s$ 的新策略为令动作值函数 $q_{\pi}(s, a)$ 取得最大值的动作.

相应地, 动作值函数 $q _ { \pi } \left( s , \pi ^ { \prime } ( s ) \right)$ 得到了改进:

注: 确定性策略下的动作值函数 $q_{\pi}(s, a)$ 为:

从而, 值函数 $v _ { \pi ^ { \prime } } ( s )$ 也得到了改进:

当改进停止时, 有如下等式:

可以说, 此时公式(3)满足了贝尔曼最优方程:

从而, 对所有状态 $s$ 来说, 有$v_{\pi}(s) = v_{*}(s)$, 即策略 $\pi$ 改进到了最优策略.


策略迭代

策略迭代

给定一个策略 $\pi$, 我们可以首先对策略进行评估, 然后根据值函数 $v_{\pi}$ 进行贪心地改进策略.

其中, $\stackrel { \mathrm { E } } { \longrightarrow }$ 表示策略评估, $\stackrel { \mathrm { I } } { \longrightarrow }$ 表示策略改进.

  • 评估(Evaluate):

  • 改进(Improve):

由于每个策略都比前一个策略更优, 同时一个有限状态的马尔可夫决策过程(finite MDP)仅有有限个策略, 因此该过程一定能够在有限次的迭代中收敛到最优策略 $\pi_{*}$ 和最优值函数 $v_{*}$.


策略迭代


策略迭代算法:

策略迭代算法分为: 初始化, 策略评估 以及 策略改进 三部分.

其中, 策略改进部分的终止条件为: 是否所有状态的策略不再发生变化.

策略迭代算法


例子: Jack’s Car Rental [代码] (先占个坑 , 等有时间把这个例子详细写下)

Jack’s Car Rental

策略迭代求解结果:

Jack’s Car Rental Solution

图中纵坐标是位置 $1$ 的汽车数量, 横坐标是位置 $2$ 的汽车数量, 该问题共有 $21 \times 21$ 个状态.

图中的等高线将状态划分为不同的区域, 区域内的数值代表相应的策略(正数代表从位置 $1$ 移往位置 $2$ 的汽车数量, 负数则往反方向移动).


策略迭代的扩展

改良策略迭代

策略评估并不需要真正的收敛到 $v_{\pi}$. (比如在 Small Gridworld例子中, 迭代 $k=3$次 即可以得到最优策略.)

为此我们可以引进终止条件, 如:

  • 值函数的 $\epsilon$ -收敛
  • 简单地迭代 $k$ 次便停止策略评估

或者每次迭代(即 $k=1$ )都对策略进行更新改进, 这种情况等价于值迭代(value iteration).


广义策略迭代

广义策略迭代(Generalized Policy iteration,GPI)指代让策略评估(policy-evaluation)和策略改进(policyimprovement)过程进行交互的一般概念, 其不依赖于两个过程的粒度(granularity)和其他细节.

几乎所有强化学习方法都可以很好地被描述为GPI. 也就是说, 它们都具有可辨识的策略与值函数. 其中, 策略 $\pi$ 通过相应的值函数 $v$ 进行改进, 而值函数 $V$ 总是趋向策略 $\pi$ 的值函数 $v^{\pi}$. 如下图所示,

广义策略迭代


值迭代

策略迭代的一个缺点是它的每次迭代都涉及策略评估, 这本身就是一个需要对状态集进行多次扫描的耗时迭代计算.

而在值迭代的过程中, 并没有出现显式的策略, 并且中间过程的值函数可能也不和任何策略对应.


最优性原则

一个最优策略可以被分解为两部分:

  • 当前状态的最优动作 $A_{*}$
  • 后继状态 $S^{\prime}$ 的最优策略

最优性原则

该原则的意思是说, 一个策略 $\pi(a|s)$ 在状态 $s$ 取到最优值函数 $v_{\pi}(s) = v_{*}(s)$ 当且仅当 对于所有从状态 $s$ 出发可到达的状态 $s^{\prime}$, 策略 $\pi$ 也能够在状态 $s^{\prime}$ 取到最优值函数.


确定性值迭代

如果我们已经知道子问题的最优解 $v_{*}(s^{\prime})$, 那么状态 $s$ 的最优解可以通过向前看(lookahead)一步得到, 这称为值迭代(Value Iteration):


值迭代算法:

值迭代算法和策略迭代算法一样, 是用来估计最优策略 $\pi_{*}$ 的, 它将策略评估和策略改进有效地结合在了一起.

值迭代算法


同步动态规划算法总结

问题 贝尔曼方程 算法
预测(Prediction) 贝尔曼期望方程 迭代策略评估
控制(Control) 贝尔曼期望方程 + 贪心策略改进 策略迭代
控制(Control) 贝尔曼最优方程 值迭代

对于有 $m$ 个动作和 $n$ 个状态 的MDP来说, 每次迭代的时间复杂度如下:

函数 复杂度
$v_{\pi}(s)$ or $v_{*}(s)$ $\mathcal{O}(mn^2)$
$q_{\pi}(s, a)$ or $q_{*}(s, a)$ $\mathcal{O}(m^2n^2)$

动态规划的扩展

异步动态规划

同步DP算法的主要缺点是每次迭代都需要对整个状态集进行扫描, 这对于状态数非常多的MDP来说耗费巨大. 而异步DP算法则将所有的状态独立地,以任意顺序进行备份, 并且每个状态的更新次数不一, 这可以显著地减少计算量.

为了保证算法的正确收敛, 异步动态规划算法必须保证所有状态都能够持续地被更新(continue to update the values of all the states), 也就是说在任何时刻任何状态都有可能被更新, 而不能忽略某个状态.

异步DP算法主要有三种简单的思想:

  • 就地动态规划(In-place dynamic programming)
  • 优先扫描(Prioritised sweeping)
  • 实时动态规划(Real-time dynamic programming)

就地动态规划

同步DP保留值函数的两个备份, $v_{new}$ 和 $v_{old}$

就地值迭代只保留值函数的一个备份.


优先扫描

使用贝尔曼误差的大小来进行状态的选择:

  • 仅备份有最大贝尔曼误差的状态

  • 在每次备份后, 需要更新受到影响的状态(即备份状态的前驱状态)的贝尔曼误差

  • 可以使用优先队列进行实现


实时动态规划

  • 思想: 只使用和Agent相关的状态
  • 使用Agent的经验来进行状态的选择
  • 在每个时间步 $S_t, A_t, R_{t+1}$ 对状态 $S_t$ 进行备份

全宽和采样备份

全宽备份

  • DP使用全宽备份(full-width backups)

  • 对于每次备份(不管同步还是异步)

    • 每个后继状态和动作都会被考虑进去
    • 需要知道MDP转移矩阵和奖励函数
  • 对于大规模DP问题会遇到维数灾难

  • 进行一次备份都太奢侈了


采样备份

采样备份(Sample Backups)使用采样的奖励和采样的转移 $< S , A , R , S ^ { \prime } >$ 来替代奖励函数 $\mathcal{R}$ 和 转移矩阵 $\mathcal{P}$.

采样备份的优点:

  • Model-free: 不需要知道MDP的先验知识
  • 通过采样缓解维数灾难
  • 备份代价成为常量, 独立于状态数 $n = |\mathcal{S}|$

压缩映射

关于上面的种种算法, 我们可能会有如下疑问:

  • 值迭代是否会收敛到 $v_{*}$ ?
  • 迭代策略评估是否会收敛到 $v_{\pi}$ ?
  • 策略迭代是否会收敛到 $v_{*}$ ?
  • 解唯一吗 ?
  • 算法收敛速度有多快 ?

为了解决这些问题, 需要引入压缩映射(contraction mapping)理论.
可以参考: 如何证明迭代式策略评价、值迭代和策略迭代的收敛性?


(关于压缩映射理论有时间再补充, 先到这里吧…)


参考资料